figuras con limite por la izquierda y la derecha

figuras : pentagono , octagono ,decagono y dodecagono

                                       pentagono 
                                               
  

octagono 

decagono 

dodecagono 

                            

limite de una funcion

     Límite de una función

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Otra visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

 El límite de una función es el valor L que parece tomar f(x) para cierto valor de la x llamado x₀, sin embargo en el mundo de las matemáticas necesitaremos una definición formal que represente lo que acabamos de decir. para esto podemos hacer un primer intento y decir que:

Cuando una función f(x) toma valores muy próximos a L cada vez que tomamos una x suficientemente cerca de x0 se dice queel límite de la función f(x) es L cuando x tiende a x0, y se escribe:

concepto de limite

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.


En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.


Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:




si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.


Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:





"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δmayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que εunidades".



Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:








Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades o reglas:

personajes que intervinieron en el calculo diferencial

1. ARQUÍMEDES Fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad. Usó el método de exhaución para calcular el área  bajo el arco de una parábola  con la sumatoria de una serie infinita. Dio una aproximación extremadamente precisa del  número Pi .  Definió la  espiral que lleva su nombre , fórmulas para los volúmenes  de las  superficies de revolución  y un ingenioso sistema para expresar números muy largos.
2. FERMAT (1601 – 1665) Co-fundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal  e independientemente de Descartes. Descubrió el principio fundamental de la geometría analítica.  Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números. Conocido sobre todo por el “último teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años.
3. BARROW (1630 – 1677) Primero en calcular las tangentes en la curva de Kappa. Inició en cierta manera el Cálculo Moderno
4. NEWTON (1642 – 1727) Los trabajos sobre la naturaleza de la luz de la óptica fueron aportes en la Física. Comparte con Leibniz  el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial que utilizó para formular sus leyes de la física. Desarrolló el  teorema del binomio
5. RIEMANN (1826 – 1866)   Su nombre está asociado con la  función zeta, la Integral deRiemann, el Lema de Rienman, Las varieddes de Rienmann. Las superficies y la geometría de Rienmann

evolución del calculo diferencial

                   Cálculo Diferencial, Historia y su Evolución

CÁLCULO DIFERENCIAL

Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones. El principal objeto de estudio en el calculo diferencial es la derivada.

EVOLUCION HISTORICA

El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculo el volumen de pirámides y conos, Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un circulo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos.

En el siglo XVII, Francesco B. Cavalieri y Evangelista Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el algebra para encontrar el area y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos). Fermat e Isaac Barrow tenia la certeza de que Gottfried W. Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como "teorema fundamental del calculo".

 Isaac Newton fue discípulo de Barrow.

En el siglo XVIII aumento considerablemente el numero de aplicaciones del calculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitivas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos.

En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos solidos basados en cantidades finitas: Bernhard Bolzano y Augustin Loui Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas; Cauchy y Bernhard Riemann hicieron lo propio con las integrales. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los creadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones y velocidad del cálculo. 

USO ANTIGUO DEL CÁLCULO:

En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:

1._ Encontrar la tangente a una curva en un punto.

2._ Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

3._ Encontrar la longitud de una curva, en el área de una región y el volumen de un solido.

4._ Dada una formula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante.

                                                         ACTUALIDAD

El éxito del cálculo ha sido extendido con el tiempo a las ecuaciones diferenciales, al cálculo de vectores, al cálculo de variaciones, al análisis complejo y a la topología algebraica y topología diferencial entre muchas otras ramas. El desarrolló y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en casi todos los campos técnicos y/o científicos cuya principal característica es la continuidad de sus elementos, en especial la física. La capacidad y velocidad de las computadoras hacia el cálculo hacen que humanamente seria imposible hacer millones de operaciones por segundo.